ch3. 행렬과 행렬대수

3.1 행렬연산

정의 - 행렬의 상등

• 상등이 정의되려면 두 행렬의 크기가 같아야 한다.

 

정의 - 행렬의 덧셈과 스칼라배

• 행렬 덧셈이 정의되려면 두 행렬의 크기가 같아야 한다.

 

정의 - 행렬의 곱셈

 

정의 - 행렬 연산의 성질

• 행렬연산의 성질은 우리가 이미 알고 있는 실수의 연산성질과 유사한 점이 많다.
• 예외 : 행렬 A, B에 대하여 AB = BA가 일반적으로는 성립하지 않는다. 

 

정리 - 영행렬

 

정의 - 단위행렬

 

정의 - 행렬의 거듭제곱

• 지수가 0일 때는 단위행렬 생성

 

정의 - 전치행렬과 성질

 

정의 - 대각합과 성질

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3.2 역행렬

정의 - 가역행렬과 역행렬

 

정리 - 역행렬의 성질

 

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3.3 기본행렬

정의 - 기본행렬과 치환행렬

• 기본행렬의 역행렬은 기본행렬

 

정리 - 기본행렬의 역행렬

(1) Row multiplication (한 행에 0아닌 상수배)

(2) Row addition (상수배 해서 다른 행에 더하기)

(3) Row switching ( 두 행 교환)

 

* 가역행렬의 역행렬 구하기 

• 행렬 A의 역행렬이 존재한다면 행렬 A는 ERO를 유한히 반복함으로써 단위행렬로 만들 수 있다.
• A가 단위행렬과 행동치이므로 A에 취하는 유한번의 ERO에 해당하는 유한개의 기본행렬이 존재하게 된다.

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3.4 부분공간과 일차독립

정의 - 부분공간

 

정의 - 일차결합

 

정의 - 행공간과 열공간

 

정의 - 일차독립과 일차종속

 

정리 - 일차 종속과 독립 성질

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3.5 선형연립방정식의 해집합과 행렬

정리 - 행렬의 가역성과 선형연립방정식의 해 사이의 관계

 

 

정리 - 동차선형연립방정식이 자명하지 않은 해를 갖는 경우

 

정의 - 수반동차연립방정식

• 선형연립방정식의 해집합은 단순히 수반동차연립방정식의 해공간을 특수해만큼 평행이동한 것
• 특수해는 자유변수에 0을 대입하여 구할 수 있음

 

정리 - 가역행렬의 동치정리

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3.6 특수행렬들

정의 - 대각선, 단위, 스칼라행렬

• 대각선행렬의 곱
  • 일반적인 행렬 A에 대하여 대각선행렬 D와의 곱 DA는 A의 각 행에 D에 대응하는 주대각선성분을 곱하는 결과
  • AD는 A의 열에 D에 대응하는 주대각성분을 곱한 결과
• 대각선 행렬의 거듭제곱은 주대각성분을 거듭제곱한 대각선행렬과 같다.

 

정의 - 대칭, 반대칭행렬

• 임의의 정사각행렬은 대칭행렬과 반대칭행렬의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

 

정의 - 하삼각, 상삼각행렬

 

정리 - LU분해

 

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자료 참고 : https://angeloyeo.github.io/2021/06/16/LU_decomposition.html

책 참고 : http://matrix.skku.ac.kr/2015-Album/BigBook-LinearAlgebra-2015.pdf