1. 확률이란?
개념
- 확률이 발생하는 상황
- 주사위 던지기
- 앞면이 나올 때까지 동전 던지기
- 휴대전화의 수명
- 실험을 시행하기 전에 발생할 수 있는 모든 결과는 알 수 있음
- {1,2,3,4,5,6}
- {앞, 뒤앞, 뒤뒤앞 ....}
- {x|0 ≤ x }
- 실험을 하기 전까지 이들 결과 중 어떤 것이 발생할 것인지에 대해 확실하게 예측할 수 없음 => 불확실성
- 확률실험 (random experiment) : 확률이 발생하고 발생할 수 있는 모든 결과를 알 수 있는 실험
- 표본공간 (sample space : Ω) : 확률실험에서 발생 가능한 모든 결과들의 집
- 사건 (event) : 표본공간 내에서의 관심 부분집합
- 예) 3번 이하로 앞면이 나올 때까지 동전 던지는 경우 {앞, 뒤앞, 뒤뒤앞}
- 확률 : 어떤 사건이 발생할 가능성이 얼마나 되는지를 나타내는 [0,1]의 수치적 척도
- 확률을 언급하기 위해서는 확률실험이 전제
-> 표본공간과 사건이 설정되어야 함
집합연산 정의와 법칙
- A와 B의 합사건: A∪B
- A와 B의 곱사건: A∩B
- 배반사건 : 임의의 두 사건 A와 B가 공통부분이 없는 경우 A∩B = ∮
- 분배법칙 적용
- 드 모르간 법칙 :
예 ) - 정사면체 주사위 두 개를 던지기
- Ω = {i, j) | i = 1,2,3,4, j = 1,2,3,4}
- A : 첫 번째 주사위가 짝수인 사건
- A = {(i, j) | i = 2, 4 j = 1,2,3,4}
- B : 두 주사위의 합이 4인 사건
- B = {(i, j) | i +j = 4 } = {(1,3), (2,2), (3,1)}
고전적 확률
- 가정 : 표본공간의 각 원소(근원사건)의 발생가능성이 동일
- n : 표본공간의 원소개수
- k : 사건 A의 원소개수
- 사건 A의 확률 :
- 주사위 두 개 예시에서 , P(A) = 8/16 = 1/2
연속표본공간
- 발생가능성이 동일한 상황을 선이나 평면 등을 이용
- 사건 A가 발생한다는 것은, Ω내에서 무작위로 한 점을 선택할 때 이 점이 영역A에 있다는 의미
- 사건 A의 확률은 전체 영역에서 A가 차지하는 비율
2. 경우의 수
- 기본 법칙은 곱의 법칙
- 어떤 실험이 m개의 연속된 단계로 이루어짐
- ni : i번째 단게에서 발생 가능한 결과의 ㅅ
- 전체 실험에서 발생 가능한 경우의 수 n = n1 X n2 X n3 X...X nm
- 예) 세트 메뉴에는 4가지 음료수, 2가지 샐러드, 5가지 메인, 4가지의 디저트 중 각각 하나씩 선택
- 일반적인 문제 : 1번에서 n번까지 적혀있는 공이 들어있는 주머니에서 k개를 무작위로 선택
- 추출방법 : 복원추출 or 비복원추출
- 뽑힌 순서 : 순서고려 or 순서무시
중복순열
순열
예) - Birthday problem
- 1년을 365일이라고 할 때, k명이 가질 수 있는 생일의 경우의 수
- A : k명의 사람이 모두 다른 생일을 가지는 사건
-> 1~365 숫자 중 k개를 비복원 추출
조합
- nCk = n! / (n-k)!k!
- 예) 1,2,3,4에서 3개를 비복원 추출 -> (123),(124), (134), (234)
예) - 로또
- 1~45 숫자 중 6개를 비복원 추출하고 정렬
- 전체 가능한 경우의 수
- 1등 : 선택한 6개의 번호가 당첨번호와 모두 일치
- 2등, 3등 : 6개 당첨번호 중 5개를 선택하고 나머지 하나는 다른 39개 중 하나를 선택
중복조합
- n+k-1 C k = n+k-1! / (n-1)!k!
- 예) 1234에서 2개를 복원추출 -> 5!/3!2! = 10
3. 통계적 확률
상대도수의 극한개념
- 동전의 앞면이 나올 확률
- 고전적 확률 : 앞면과 뒷면의 발생가능성이 동일 1/2
- 동전던지기 실험 결과 -> 실험을 계속 수행하다보면 상대도수가 0.5로 수렴
- 각각의 실험에서 발생하는 결과는 표본이고 실험을 무한히 반복한다는 것은 표본이 결국 모집단이 됨
-> 통계적 확률(statistical probability)
- 확률은 모집단이 어떤 형태로 구성되어 있는지를 보여줌
- n이 커질수록 실제값과 비슷해짐
참고 : https://lms.kmooc.kr/course/view.php?id=6760#section-1
